Question

梯形ABCD，AD //BC，AB=CD=BC=6,AD=3，M为BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，ME交AB与E，MF交CD于F，连结EF

EF⊥CD，求BE的长

Answer 1

在梯形ABCD中，
∵AD//BC，AB=CD，∴∠B=∠C是等腰梯形；
∵ ∠BMF=∠BME+EMF=∠C+∠CFM；
又∠EMF=∠B=∠C,∴∠BME=CFM；即△BME∽CMF；
∴BE:ME=CM:MF；即BE:CM=ME:MF；
∵MC=MB, ∴BE:BM=EM:MF;
又∠EMF=∠B,∴△MEF∽△BEM ;
∵EF⊥CD, △MEF∽△BEM∽CMF
∴∠EMB=∠EFM=∠CFM=45°
过A做AK⊥BC交BC于K，则BK=(6-3)/2=1.5；即BK=AB/4；
过点E作 EH⊥BC，则△BEH∽△BAK,
设BE=X，则BH= X/4，EH=MH= (√15)X/4(勾股弦定理)
∵(√15)X/4+X/4=3；解方程
∴BE= 6(√15-1)/7