Question

圆锥曲线———椭圆的题

如图所示，A,B是与两坐标轴正半轴的焦点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC交椭圆于M点，OF=根号2，若MF⊥OA，求椭圆的方程
图

Answer 1

解：因为椭圆的右焦点F在X轴上
则设椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
且F(c,0) (a^2=b^2+c^2）
由于：OF=根号2,则c=根号2
由于：A,B是与两坐标轴正半轴的交点
则：A(a,0),B(0,b)
又：C是AB中点 则：C(a/2,b/2)
则直线OC：y=(b/a)x
因为：MF⊥OA 则：XM=XF=根号2
则设M(根号2,y0)
点M带入OC：y0=根号2(b/a)
又：M在椭圆上；
则M( 根号2,根号2(b/a) )带入椭圆：
2/a^2+[2b^2/a^2]/b^2=1
则：a^2=4
又：c=根号2
则：b^2=a^2-c^2=2
则椭圆的方程:x^2/4+y^2/2=1

Answer 2

A(a,0),B(0,b),C(0.5a,0.5b),M(√2,y)F(√2,0)
椭圆方程x²／a²＋y²／b²＝1
M坐标带入解得y=b²／a.OC方程为y=bx／a
M坐标带入解得b=c=√2,a=4
所求方程为x²／4+y²／2=1