Question

不等式题 如图

Answer 1

解：【分析1：形如 ax^2 + bx + c 这一类一元二次不等式，均以两根为界，“大于取两边，小于取中间”】
由已知得，m、n 为 ax^2 + bx + c = 0 的两解。
故有，m + n = - b/a mn = c/a
又∵题中的解取向为两边，则知，a<0 【分析2：“取两边”则原式中必为“>”∴知二次项系数小于零】
由 m<n<0 可知, b>0 c<0
∴cx^2 + bx + a < 0 的解集取两边，设此方程的解为 A、B
则有，A + B = - b/c = (m+n) × 1/(mn) ①
AB = a/c = 1/(mn) ②
解得，A = 1/m B = 1/n 【注，此处A、B的解可互换，不影响结果】
又∵m<n<0 ∴1/n<1/m<0
∴cx^2 + bx + a < 0 的解集为 （-∞，1/m ）∪（1/n, +∞）

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Answer 2

由根与系数关系知a<0,b<0,c<0
x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
不等式cx^2-bx+a<0等价于x^2-b/cx+a/c>0
x^2+x(x1+x2)/x1x2+1/x1x2>0
x^2+x(1/x1+1/x2)+1/x1x2>0
(x+1/x1)(x+1/x2)>0
将x1=m,x2=n代入得
(x+1/m)(x+1/n)>0
因为m<n<0,所以0<-1/m<-1/n
故解为(-∞,-1/m)并(-1/n,+∞)

Answer 3

【注：要熟练掌握二次不等式的解集与两根的关系。】解：由题设易知，ax²+bx+c=a(x-m)(x-n)＜0.其中，a＜0.展开对比可知，b=-a(m+n),c=amn.∴cx²-bx+a=amnx²+a(m+n)x+a＜0.===>mnx²+(m+n)x+1＞0.===>(mx+1)(nx+1)＞0.===>mn[x+(1/m)][x+(1/n)]＞0.∵m＜n＜0.∴mn＞0.且0＜-1/m＜-1/n.∴mn[x+(1/m)][x+(1/n)]＞0.===>[x+(1/m)][x+(1/n)]＞0.===>x＜-1/m.或x＞-1/n.即不等式cx²-bx+a＜0的解集为(-∞,-1/m)∪(-1/n,+∞).