Question

函数f(x)的定义域是R，若f(x+1)和f(x-1)都是奇函数，则A。f(x)=f(x+2)怎么证明

Answer 1

f(x+1)= -f(-x+1)
f(x-1)= -f(-x-1)

t=x-1带入2式
f(t)= -f(-t-2)

t=-x+1带入1式
f(t+2)=-f(t)

3和4式知道
f(t+2)=-f(-t-2)
带入3式
f(t)=f(t+2)

Answer 2

令X-1=t 则有f(x+1)=f(t+2）。 f(x-1)=f(t）。又因为f(x+1)和f(x-1)都是奇函数所以有
f(-x-1)=-f(x+1) f(-x+1)=-f(x-1)
即f(-t）=-f(t） f(-t-2）=-f(t+2）
记为f(-x-2）=-f(x+2）
又因为f(-t）=-f(t）
记为f(-x）=-f(x)
令u=t+2
则有f(-u）=-f(u）
记为f(-x）=-f(x)
则有f(x)=f(x)
即f(t）=f(u）
即f(x)=f(x+2)

Answer 3

X=1