Question

已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC=4/3，直线MN是梯形的对称轴，点P是线

已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC=4/3，直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD与点E，过点C作CF‖AB交射线BP于点F
（1）求证：PC²=PE·PF
（2）设PN=x，CE=y，试建立y和x之间的函数关系式，并求出定义域
（3）联结PD，在点P运动过程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的长。

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵，
∴．
由题意有EG∥MN，
∴，即，
∴；

（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠MDP=∠ABC，
即，
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO==，
又，即
．
因为2都在定义域内，所以当x=2时，△EFC和△PDC相似．

Answer 2

（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC=tan∠DCB=
43，
∴EG=
45y，GC=
35y．
由题意有EG∥MN，
∴PNEG=
BNBG，即x45y=
4.59-
35y，
∴y=15xx+6（0＜x≤3）；

（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠MDP=∠ABC，
即1.54-x=
34，
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH=EH=
5-y2．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=DHcos∠ODH=5-y2•
53，
又∵MOMP=
43，
∴x=
25±
24116．
因为2都在定义域内，所以当x=
25±
24116orx=2时，△EFC和△PDC相似．