Question

设函数fx=(1/2)的│x│次方,x属于R,若不等式fx+f(2x)≤k对于任意的x属于R恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

1) 当x=0时，f(x)=f(2x)=1 f(x)+f(2x)=<k 所以k>=2
2) 当x><0时，f(x)=(1/2)^｜x｜的取值范围（0,1）,f(2x) =(1/2)^｜2x｜=(1/2)^ (2｜x｜)=(f(x))^2
设t=f(x),f(2x)=t^2 t的取值范围是（0,1）
所给等式f(x)+f(2x)<=k 即可化为t^2+t-k<=0

由题意，需t在（0，1）内都可使得t^2+t-k<=0成立（这里你可以画个抛物线就明白了 ）
则抛物线m(t)= t^2+t-k与x轴的交点t1、t2（t1<t2）应满足以下条件
t1=(-1-根号下（1+4k）)/2<=0
t2=(-1+根号下（1+4k）)/2>=1
可求得满足条件的k的取值范围是k>=2
综上所述 k的取值范围是k>=2