Question

已知数列{an}的前n项和为sn，满足an+sn=2n ① 证明∶数列{an-2}为等比数列，并求出an ②设bn=(2-N)(an-2),

求{bn}的最大项

Answer 1

①∵an+sn=2n
∴sn=2n-an
当n＝1时，a1+s1=2，则a1=1
当n大于或等于2时，则
an=sn-s(n-1）=2n-an-2(n-1)+a(n-1)=2+a(n-1)-an
∴2an=a(n-1)+2
设数列{an+d}为等比数列，则
2(an+d)=a(n-1)+d
∴2an=a(n-1)-d
∴d= -2
∴数列{an-2}为等比数列，且公比为1/2
∴an-2=（1/2）的（n-1)次方*（a1-2)
∴an=2-(1/2）的（n-1）次方
当n=1时，上式中a1=1成立
综上：an=2-（1/2)的（n-1）次方

②bn=(2-n)(1/2)的（n-1）次方
设{bn}的最大项为bm，则
bm≥b(m-1)且bm≥b(m+1)
代入可得3≤m≤4
∴m=3或4

Answer 2

注n和前面字母之间没有*号表示序号，如an表示a（n）
a1+s1=2*1
因为s1=a1
所以a1=1
sn=2*n-an
an=s（n）-s（n-1）=2*n-an - 【2*（n-1) -a（n-1）】
=2n-an-2n+2+a（n-1）
an = 【a（n-1）+2 】/2 （n>2） a1=1 【此为an队列】
[an-2]：[a（n-1）-2 ] = { [a(n-1)+2]/2 - 2 }/[a(n-1)-2] = 1/2 所以数列{an-2}为等比数列。
{an-2}={-1，-1/2, -1/4, -1/8, -1/16,......}等比数列
an-2=-1/(2^(n-1)) (2的n-1次方)
得an=2-1/(2^(n-1))
===
{bn}
{an-2}={-1，-1/2, -1/4, -1/8, -1/16,......}等比数列
bn = （2-n）*（an-2）
= （2-n）*（-1/(2^(n-1)) ）
= (n-2)/(2^(n-1))
{bn}={-1，0，1/4，2/8，3/16，4/32，，,,} 最大值为1/4
【用曲线法，做出2条曲线后，容易看成，2-n是直线，{an-2}是（+，1）象限的双曲线，所以，n=3时bn最大】

Answer 3

1,①∵an+Sn=2n
∴an+1 +Sn+1=2n+2
两式相减得
2an+1=an+2即(an+1 -2)/(an-2)=1/2
又a1+S1=2∴a1=1∴a1 -2=-1
∴an-2=-(1/2)^(n-1)
∴an=2-(1/2)^(n-1)
②∵bn=-(2-n)(1/2)^(n-1)∴bn+1=-(1-n)(1/2)^n
∴bn+1 -bn=-(1-n)(1/2)^n+(2-n)(1/2)^(n-1)=-(1-n)(1/2)^n+2(2-n)(1/2)^n=(1/2)^n(3-n)
∴b3=b4
当n<=3时bn递增,当n>=4时bn递减.
因此,b3,b4为bn 最大项.

Answer 4

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