Question

有关高二向量的数学题

1.推动一个废弃的集装箱至少需要3000N的力，用大小分别为2000N和1500N的力作用在这个集装箱上，则当两个力的夹角∈？时才能推动它？
2.若|向量OP|=5，|向量OQ|=3，|向量OP-向量OQ|=7，那么以向量OP，向量OQ为边的平行四边形面积是？

最好有详细过程，谢谢~

Answer 1

1.推动一个废弃的集装箱至少需要3000N的力，用大小分别为2000N和1500N的力作用在这个集装箱上，则当两个力的夹角∈？时才能推动它？
解析：由余弦定理
Cosθ=(2^2+1.5^2-3^2)/(2*2*1.5)=-11/24
当二个力夹角小于等于π-arccos(-11/24)时，才能推动它
2.若|向量OP|=5，|向量OQ|=3，|向量OP-向量OQ|=7，那么以向量OP，向量OQ为边的平行四边形面积是？
解析：设向量OP=(x1,y1), 向量OQ=(x2,y2)
向量OP-向量OQ=(x1-x2,y1-y2)
|向量OP-向量OQ|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-2(x1x2+y1y2)=49
∴25+9-2(x1x2+y1y2)=49==> x1x2+y1y2=-15/2
向量OP*向量OQ=x1x2+y1y2=|向量OP|*|向量OQ|cosθ=15cosθ=-15/2
∴cosθ=-1/2==>sinθ=√3/2
∴以向量OP，向量OQ为边的平行四边形面积是5*3* sinθ=15√3/2

Answer 2

1.设|向量a|=3000，|向量b|=2000，|向量c|=1500，则要想推动，必须满足向量a>=向量b+向量c，然后用三角形余弦定则就能求出夹角范围了
2,由已知条件可以求出|向量PQ|=7，这样就可以求出△OQP的三边以及三个内角，然后用S△=0.5×ABsinC，S平行四边形=2×S△就可以求出面积

Answer 3

1、可以把2000与1500看成平行四边形两边长，3000则是与两边同起点的对角线长
求平行四边形面积用海伦公式=2*根号【s（s-2000）（s-1500）（s-3000）】
其中s=（3000+2000+1500）/2
再由S=2000*1500sinx
x为夹角
2、向量op-向量oq=向量pq
s=（5+3+7）/3=7.5
用海伦定理求三角形面积=根号【7.5*（7.5-3）（7.5-5）（7.5-7）】=S1
平行四边形面积为2*S1