Question

已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：

已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：
（1）当a≤0时，1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+1/2x2)；
（2）当a≤4时，│f′(x1)-f′(x2)│>│x1-x2│ 。

Answer 1

（1）当a≤0时，f(x1)/2+f(x2)/2>f(x1/2+x2/2)；
f(x)=x^2+x/2+aln[x](x＞0)，
f(x1)=x1^2+x1/2+aln[x1]；
f(x2)=x2^2+x2/2+aln[x2]；
f(x1/2+x2/2)=(x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]；
f(x1)/2+f(x2)/2
=(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/4+aln[(x1x2)^(1/2)]；

∵x1≠x2，且>0
∴2(x1^2+x2^2)>(x1+x2)^2
∴(x1^2+x2^2)/2>(x1+x2)^2/4
∵(x1*x2)^(1/2)<(x1+x2)/2
∴ln[(x1x2)^(1/2)]<ln[(x1+x2)^2/2]
∵a≤0
∴aln[(x1x2)^(1/2)]>aln[(x1+x2)^2/2]

∴(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/4+aln[(x1x2)^(1/2)]> (x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]
即：f(x1)/2+f(x2)/2> f(x1/2+x2/2)
故得证。
2006年高考试题四川卷理科数学试题最后一题,自己看去