Question

一道高中数学解析几何题

设点P（m，0）为椭圆（x^2)/36+(y^2)/9=1的长轴上任意一点（P不与长轴的端点重合），A为该长轴的一个端点，若PA的长是P与椭圆上任意一点连线段的最小值，则实数m的取值范围是

谢谢了

Answer 1

∵椭圆关于（0,0）点对称，所以不妨设m>0，则
令椭圆上任意一点Q（6cosθ，3sinθ），则
PA=6-m,PQ=√[(6cosθ-m)²+(3sinθ)²]
由题知PA≤PQ，即
（6cosθ-m)²+(3sinθ)²≥（6-m)²
36cos²θ-12mcosθ+m²+9sin²θ=9+27cos²θ-12mcosθ+m²≥m²-12m+36
12m(1-cosθ)≥27（1-cos²θ）
m≥27（1+cosθ）/12
∵cosθ∈（-1,1）
∴m≥27/6
所以27/6≤m≤6
由于对称性，-6≤m≤-27/6
综上所述，m∈（-6,-27/6)∪(27/6,6)

Answer 2

由椭圆参数方程: X=6cosθ, Y=3sinθ
令椭圆上任意一点Q（6cosθ，3sinθ），
当A(6,0)为, 则PA=6-m,PQ=√[(6cosθ-m)²+(3sinθ)²]
由题知PA≤PQ，即
（6cosθ-m)²+(3sinθ)²≥（6-m)²
36cos²θ-12mcosθ+m²+9sin²θ=9+27cos²θ-12mcosθ+m²≥m²-12m+36
12m(1-cosθ)≥27（1-cos²θ）
m≥27（1+cosθ）/12
∵cosθ∈（-1,1）
∴m≥27/6
所以27/6≤m≤6
当A(-6,0)
则: -6≤m≤-27/6
综上所述，m∈（-6,-27/6)∪(27/6,6)

Answer 3

F (±3√5,0)
-6<m<=-3√5 & 3√5 <=m<6

Answer 4

F (±3√5,0)
-6<m<=-3√5 & 3√5 <=m<6