Question

已知函数f（x）=x的3次方-3ax-1，a=0 （1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m

已知函数f（x）=x的3次方-3ax-1，a不等于0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围

Answer 1

(1.)对原函数进行求导，的f(x)'=3x^2-3a,当a<0时，可知导数恒大于零，即原函数恒增。当a>0时，令f(x)'=0，得3x^2-3a=0,即x^2=a,通过图像判断可知，当x>根号a或小于负根号a时，导数小于零，当x>负根号a且x<根号a时，导数大于零。因此，a<0时，函数在R上为增函数；a>0时，在[负根号a,根号a]，函数为增函数，在(-无穷,负根号a）U（根号a,正无穷),函数为减函数。

(2.)若f(x)在x=-1处取得极值，则x=-1时，原函数的导数等于0，所以有a=1,此时原函数为f(x)=x^3-3x-1，对f(x)求导，得f(x)'=3x^2-3,令f(x)'=0，得x=正负1，即原函数的两个拐点为正负1，x=-1时，f(x)=1,x=1时,f(x)=-已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围。
解：（1）f(x)=x³-3ax-1的定义域为（-∞,+∞).
f′(x)=3x²-3a,当a<0时，f′(x)=3x²+│a│,对任何x都大于0，此时在全部定义域内都是增函数。
当a>0时，令f′(x)=3(x²-a)=0,此时函数有两个驻点：x=±√a.
f〃(x)=6x, 故f〃(-√a)=-6√a<0,∴x=-√a.是极大点，故在（-∞，-√a.)内单调增。
f〃(√a)=6√a.>0,∴x=√a.是极小点，故在（-√a., √a.)内单调减，在（√a.，+∞)内单调增。
函数f(x)在x=-√a.时取得极大值f(-√a.)= -a^(3/2)+3a^(3/2)-1=2a^(3/2)-1
在x=√a.时取得极小值f(√a.)=a^(3/2)-3a^(3/2)-1=-2a^(3/2)-1
故要使在a>0时直线y=m与f(x)的图像有三个交点，必须-2a^(3/2)-1<m<2a^(3/2)-1 3，根据图像可知，若y=m与原函数图像有3个不同的交点，则m应大于-3且m小于1.

Answer 2

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围。
解：（1）f(x)=x³-3ax-1的定义域为（-∞,+∞).
f′(x)=3x²-3a,当a<0时，f′(x)=3x²+│a│,对任何x都大于0，此时在全部定义域内都是增函数。
当a>0时，令f′(x)=3(x²-a)=0,此时函数有两个驻点：x=±√a.
f〃(x)=6x, 故f〃(-√a)=-6√a<0,∴x=-√a.是极大点，故在（-∞，-√a.)内单调增。
f〃(√a)=6√a.>0,∴x=√a.是极小点，故在（-√a., √a.)内单调减，在（√a.，+∞)内单调增。
函数f(x)在x=-√a.时取得极大值f(-√a.)= -a^(3/2)+3a^(3/2)-1=2a^(3/2)-1
在x=√a.时取得极小值f(√a.)=a^(3/2)-3a^(3/2)-1=-2a^(3/2)-1
故要使在a>0时直线y=m与f(x)的图像有三个交点，必须-2a^(3/2)-1<m<2a^(3/2)-1

Answer 3

1.对原函数进行求导，的f(x)'=3x^2-3a,当a<0时，可知导数恒大于零，即原函数恒增。当a>0时，令f(x)'=0，得3x^2-3a=0,即x^2=a,通过图像判断可知，当x>根号a或小于负根号a时，导数小于零，当x>负根号a且x<根号a时，导数大于零。因此，a<0时，函数在R上为增函数；a>0时，在[负根号a,根号a]，函数为增函数，在(-无穷,负根号a）U（根号a,正无穷),函数为减函数。

2.若f(x)在x=-1处取得极值，则x=-1时，原函数的导数等于0，所以有a=1,此时原函数为f(x)=x^3-3x-1，对f(x)求导，得f(x)'=3x^2-3,令f(x)'=0，得x=正负1，即原函数的两个拐点为正负1，x=-1时，f(x)=1,x=1时,f(x)=-3，根据图像可知，若y=m与原函数图像有3个不同的交点，则m应大于-3且m小于1.