Question

已知数列{an}满足a1=0，an+1=（an-3）/（√3an+1）求a20

Answer 1

你可以利用不动点法：

a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）

其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)

特征方程的根称为该数列的不动点

这类递推式可转化为等差数列或等比数列

若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))

其中k=(A-α*C)/(A-β*C)

x=(A*x+B)/(C*x+D)

C*x^2+(D-A)*x-B=0

α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0

C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D

a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))

由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))

得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)

不过这题给的数据不太好，解出的不动点是虚数，而且好像还构不成周期数列……