Question

在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点E,交BC于点F

求证：（1）AO+EO=AB
（2）FC=2EO

Answer 1

过E点作EM垂直AB于点M，则EM=EO（角平分线定理）
在Rt△BME中，∠MEB=∠MBE=45°，BM=EM=EO
又AM=AO（AME和AOE全等）
所以AB=AM+BM=AO+EO
AF平分∠BAC，∠BAF=∠OAE
∠BAF+∠BFA=90°=∠OAE+∠OEA
所以∠BFA=∠OEA
又∠OEA=∠BEF（对等角）
所以∠BEF=∠BFE（∠BFA）
所以BE=BF
BE=BO-EO=AO-EO=AB-EO-EO=AB-2EO
BF=AB-FC
所以FC=2EO

Answer 2

AF平分∠BAC，所以∠FAD=∠AED==67.5°，所以AD=DE，所以AB=AD=DE=EO+OD=EO+AO
即AO+EO=AB
过F做AC的垂直线与AC相交于Z，根据AF平分∠BAC,所以，FB=FZ，三角形ABF的面积=1/2*AB*BF，AFC的面积=1/2*FZ*AC=1/2*FZ*根号2的AB，所以三角形ABF面积与三角形AFC面积比为1：根号2，也就是说三角形AFC的面积占了整个正方形的2分之（2-根号2），所以FC：AB=2-根号2，所以FC=2AB-根号2的AB=2AB-2AO=2EO

Answer 3

(1) AF平分∠BAC 故 <AED=67.5' =<EAD
故AD=DE
又AO=OD AB=AD
所以AO+OE=AB （2） AF平分∠BAC
故AO/AB=OE/BE AC/AB=FC/BF
又AC=2AO EF=BE
故2OE=FC
副：三角形角平分线定理：
在三角形ABC中，AD为<ABC平分线交BC于D点，则有AB/AC=BD/CD