Question

怎样用奇偶性和单调性解高中函数的根的个数

函数f(x)满足f(x+1)和f(x)都是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)=log2(x+1),则方程f(x)=1/2在[-5，5]上的根的个数是
A.5 B.6 C.8 D.10
要解法

Answer 1

函数f(x)满足f(x+1)和f(x)都是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)=log2(x+1),则方程f(x)=1/2在[-5，5]上的根的个数是
A.5 B.6 C.8 D.10
解析：∵函数f(x)满足f(x+1)和f(x)都是偶函数
∴f(-(x+1))= f(x+1)
f(-x-1))= f(x+1)==> f(-x-1+1))= f(x+1+1)==> f(-x)= f(x+2)
又f(-x)=f(x)
∴f(x)= f(x+2)，f(x)是周期为2的周期函数
∵当0≤x≤1时，f(x)=log(2,x+1)（以2为底x+1的对数）
∴当-1≤x≤0时，f(x)的图像与当0≤x≤1时，f(x)=log(2,x+1)的图像关于Y轴对称
在[-5，5]上，函数f(x)有5个周期，与X轴有5个交点
又方程f(x)=1/2==> f(x)-1/2=0
设函数h(x)= f(x)-1/2
∴h(x)图像为函数f(x)的图像在垂直方向上下移1/2个单位
这样h(x)图像与X轴的交点变为10个
∴方程f(x)=1/2在[-5，5]上的根的个数是10
选择D

Answer 2

解：选D
∵f(x+1)是偶函数
∴f(-x+1)=f(x+1)，即f(2-x)=f(x)
∴f(x)的图象关于直线x=1对称
又∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)，即f(x)的图象关于直线x=0对称
由f(2-x)=f(x)及f(-x)=f(x)，得f(2-x)=f(-x)
∴f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为2.
∵当0≤x≤1时，f(x)=log(2)(x+1)的图象与直线x=1/2有且仅有一个交点
∴方程f(x)=1/2在[0，1]上有且仅有一个根
由函数f(x)的对称性和周期性可知
方程f(x)=1/2在[-5，5]上有10个根
∴选D