Question

已知椭圆 （a＞0，b＞0）的离心率

已知椭圆 （a＞0，b＞0）的离心率e＝ ，短轴的一个端点到右焦点的距离为√3.直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A,B.
1. 求椭圆的方程
2. 若m=1时，｜AB｜= ,求实数k的值。
3. 若OA⊥OB(O为坐标原点)，求实数k的值。

Answer 1

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞0，b＞0）的离心率e＝√6/3 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为√3.直线L：y=kx+m交椭圆于不同的两点A,B.
1. 求椭圆的方程
2. 若m=1时，｜AB｜= ,求实数k的值。
3. 若OA⊥OB(O为坐标原点)，求实数k的值。
解：
1、设椭圆的半焦距为c,
依题意：e＝c/a=√6/3
短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义）
短轴的一个端点到右焦点的距离a=√3
解得c=√2
由b²=a²-c²=3-2=1
得b=1
∴所求椭圆方程为x²/3+y²=1
将y = kx +m代入椭圆方程
代入有x²+3(kx+m)²=3
整理得(1+ 3k² )x²+ 6kmx + 3m² −3 = 0
Δ = (6km)² − 4(1+3k² )(3m²−3) > 0
利用韦达定律
x1+x2=6km/(1+3k²)
x1×x2=(3m² −3)/(1+3k²)
利用弦长公式有｜AB｜=√(1+k²))｜x2-x1｜
|AB|²=(1+k² )(x2-x1)²
=（1+k²）[-6km/(3k²+1)]²-12(m²-1)/ (3k²+1)
=（1+k²）[36k²m²-12(m²-1) (3k²+1)]/ (3k²+1)²
=12（1+k²）(3k²-m²+1)/ (3k²+1)²
=12（1+k²）(3k²-m²+1)/ (3k²+1)²
当m=1时
|AB|²=36k²(1+k²)/ (3k²+1)²
|AB|=6k√(1+k²)/ (3k²+1)