Question

如图 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B 两点,与 y轴交于点C,对称轴与抛物线交于点P,

如图 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B 两点,与 y轴交于点C,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC 交于点M，连接PB．（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；

若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)。y=-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-[(x-1)²-1]+3=-(x-1)²+4
对称轴：x=1；顶点P(1，4)；C(0，3)；A(-1，0)；B(3，0)；
BC所在直线的方程为y=-x+3；令x=1，得M点的坐标为(1，2)；
那么S△PMB=(1/2)×∣PM∣×∣XB-1∣=(1/2)×(4-2)(3-1)=2；
设Q点的坐标为(m，-m²+2m+3)；
则△QMB的面积S：
............∣m -m²+2m+3 1 ∣
S=(1/2)∣1 2 1 ∣=(1/2)[2m+2(-m²+2m+3)-6]=(1/2)(-2m²+6m)=2
............∣3 0 1 ∣
即有-2m²+6m-4=-2(m²-3m+2)=-2(m-1)(m-2)=0，故得m=2；
于是-m²+2m+3 =-4+4+3=3；即Q点的坐标为(2，3).
(2)。设R的坐标为(x，-x²+2x+3)，那么
........................∣x -x²+2x+3 1 ∣
S△RPM=(1/2)∣1 4 1 ∣=(1/2)(2x-2）=x-1
........................∣1 2 1 ∣

........................∣x -x²+2x+3 1∣
S△RMB=(1/2)∣1 2 1∣=(1/2)[2x+2( -x²+2x+3)-6]=-x²+3x
.......................∣3 0 1∣
由x-1=-x²+3x，得x²-2x-1=0，解得x=1+√2，y=-(1+√2)²+2(1+√2)+3=2，即R点的坐标为(1+√2，2).

Answer 2

解：
y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
点P坐标(1，4)
令x=0，解得y=3
点C坐标(0，3)
令y=0
-x²+2x+3=0
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3或x=-1
点A坐标(-1，0)，点B坐标(3，0)
直线BC方程：y-0=[(0-3)/(3-0)](x-3)
整理，得x+y-3=0
令x=1，解得y=2
点M坐标(1，2)
1.
假设点Q存在，设点Q坐标(x，-x²+2x+3) (点Q异于点P，x≠1)
△QMB与△PMB有公共边MB，两三角形面积相等，MB边上高相等
点Q与点P到直线BC距离相等
由点到直线距离公式得
|x+(-x²+2x+3)-3|/√(1²+1²)=|1+4-3|/√(1²+1²)
|x²-3x|=2
x²-3x=2或x²-3x=-2
x²-3x=2 (x- 3/2)²=17/4
x=(3+√17)/2或x=(3-√17/2)
x=(3+√17)/2时，y=-x²+2x+3=(√17-1)/2
x=(3-√17)/2时，y==-x²+2x+3=-(√17+1)/2
x²-3x=-2 x²-3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
x=1(舍去)或x=2
y=-x²+2x+3=-4+4+3=3
综上，得满足题意的Q点存在，共有三个点满足题意，坐标分别为：
( (3+√17)/2，(√17-1)/2 )，( (3-√17)/2，-(√17+1)/2 )，(2，3)
2.
假设点R存在，设点R坐标(x，-x²+2x+3)
点R在第一象限，x>0 -x²+2x+3>0
x²-2x-3<0
(x-3)(x+1)<0
-1<x<3，又x>0，因此0<x<3
点R在对称轴右侧，x>1
综上，得1<x<3
设直线PM交x轴于D(1，0)
PM=MD=2,点M为线段PD中点。
S△PMB=S△MDB
△MDB与△RMB有公共边MB，S△RMB=S△RPM=S△MDB
点R与点D到直线MB距离相等
由点到直线距离公式得
|x+(-x²+2x+3)-3|/√(1²+1²)=|1+0-3|/√(1²+1²)
|x²-3x|=2
由(1)过程得
x=(3+√17)/2(>3，舍去)或x=(3-√17)/2 (<1，舍去)或x=2
y=3
综上，得满足题意的点R存在，仅有一个点满足题意，坐标为(2，3)

Answer 3

通过抛物线可以解得A(-1，0),B(3，0),P(1，4)直线BC.Y=3-X,M(1，2),C(0，3)为使△QMB 与△PMB 的面积相等，即Q点到PM的距离与B点到PM的距离相等，从而得到Q的X坐标为-1，从而知Q(-1，0)
使△RPM 与△RMB 的面积相等,已知PM长为1，MB为2根号2，设R（a,b)则1*（a-1)的绝对值=2根号2*（a+b-3)的绝对值/根号2，以为R点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，所以a-1,a+b-1必定大于0.再结合b=-a2+2a+3可以解得a,b

Answer 4

 第二题相同的思路