Question

已知点P是双曲线x²/4-y²/12=1右支上任意一点，F1,F2分别是它的左右焦点，如果∠PF1F2=α，∠PF2

求证：3tan(α/2)=tan(β/2)

Answer 1

用点儿简单的几何知识，这样证起来比较简洁。

先做几条辅助线，过P作F1F2的垂线交X轴于H；再以PH为轴，作F2的对称点M（即M与F1、F2共线且PM=PF2）；以PF1为轴，作M的对称点N（即PN=PM且∠PF1N=∠PF1F2=α）。

由tanα=sin2α/(1+cos2α)可知，要证3tan(α/2)=tan(β/2)，只需证明3sinα/(1+cosα)=sinβ/(1+cosβ)，消去分母得，3sinα+3sinαcosβ=sinβ+sinβcosα。

再由积化和差公式sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2得，3sinα+3[sin(α+β)+sin(α-β)]/2=sinβ+[sin(β+α)+sin(β-α)]/2，化简得3sinα+sin(α+β)=sinβ+2sin(β-α)。

先证sin(β-α)=F1M/2R，其中R为ΔPF1F2外接圆的半径。

由于M、N关于PF1対称，故∠PNF1=∠PMF1；由于F2、M关于PH対称，故∠PMF2=∠PF2F1；又∠PMF1+∠PMF2=π，故∠PNF1+∠PF2F1=π，即N、P、F1、F2四点共圆，故ΔPF1N的外接圆与ΔPF1F2相同，且其半径也为R。所以在ΔPF1N中，由正弦定理知，sin∠NPF1=F1N/2R，而F1N=F1M，∠NPF1=π-∠PNF1-∠PF1N=∠PF2F1-∠PF1N=β-α。所以，sin(β-α)=F1M/2R。

下证3sinα+sin(α+β)=sinβ+2sin(β-α)……(*)。

由题意，a=2，b=2√3，c=√(a^2+b^2)=4，e=c/a=2，准线为x=±a^2/c=±1，F1、F2坐标分别(-4,0)，(4,0)。

设P的坐标为(x,y)，则由双曲线（二次曲线）的性质可知，PF1=e|x-(-1)|=2(x+1)，PF2=e|x-1|=2(x-1)，F1F2=2c=8。

在ΔPF1F2中，由正弦定理得，sinβ=PF1/2R=2(x+1)/2R，sinα=PF2/2R=2(x-1)/2R，sin(α+β)=sin(π-α-β)=F1F2/2R=8/2R。又sin(β-α)=F1M/2R，而F1M=2F1H-F1F2=2(x+4)-8=2x，故sin(β-α)=2x/2R。

将上述等式代入(*)中可知，等式左=[3*2(x-1)+8]/2R=(6x+2)/2R；等式右=[2(x+1)+2*2x]/2R=(6x+2)/2R，故(*)成立，即3tan(α/2)=tan(β/2)。