Question

若a＞0，b＞0，且ab≥a+b+1，求a+b的最小值

Answer 1

a>0,b>0
则√ab≤(a+b)/2
令x=a+b
则ab≤x²/4
所以x²/4≥ab≥x+1
x²-4x-4≥0
x≤2-2√2,x≥2+2√2
显然x=a+b>0
所以最大值=2+2√2

Answer 2

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

Answer 3

解：∵ab≥a+b+1.
∴b(a-1) ≥a+1
由题设可知,a.b＞0. ∴a-1＞0.
∴b≥(a+1)/(a-1)=[(a-1)+2]/(a-1)=1+[2/(a-1)]
∴a+b≥1+a+[2/(a-1)]=2+(a-1)+[2/(a-1)]
∵a-1＞0. ∴由基本不等式可知(a-1)+[2/(a-1)] ≥2√2.等号仅当a=1+√2时取得。
∴a+b≥2+2√2.等号仅当a=b=1+√2时取得。
∴（a+b）min=2+2√2.