Question

高中圆锥曲线。已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C：y^2=4x上的任意两点，点P(1,2)是抛物线C上定点，

已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C：y^2=4x上的任意两点，点P(1,2)是抛物线C上定点，直线PA和PB的斜率分别为k1,k2,若K1K2=2求证：直线AB过定点。
记得有一种解法是把K1、K2用X1、X2表示出来，有两种表示方式。然后k1k2可以写成两个方程，联立，带入直线AB的方程求到定点。但是我忘了怎样用两种办法k1、k2，求高手解析。

Answer 1

设直线PA的斜率为1/k1（这么设是为了计算方便）
直线PB的斜率为1/k2
根据题意k1k2=1/2

A(x1,y1),B(x2,y2)
那么PA：x-1=k1(y-2)

与抛物线C：y^2=4x联立
得到y^2-4k1y+8k1-4=0
根据韦达定理得到
y1+2=4k1
所以y1=4k1-2

x1=(2k1-1)^2
所以A((2k1-1)^2，4k1-2)

把k1换成k2
得到了B((2k2-1)^2，4k2-2)

所以KAB=1/(k1+k2-1)
写出AB的方程y-(4k1-2)=[x-(2k1-1)^2]/(k1+k2-1)
把k1k2=1/2带入，并整理后得到
(k1+k2-1)y=x-2k1-2k2
所以(k1+k2)(y+2)=x+y
只要令y+2=0
x+y=0
解得x=2, y=-2

所以恒过点(2,-2)

追问

我知道这个，我就是想问问另一种办法怎么弄

追答

另一种方法，
A(x1,y1),B(x2,y2)

把A和P点带入抛物线公式，然后相减得
(y1+2)(y1-2)=4(x1-1)
所以k1=(y1-2)/(x1-1)=4/(y1+2)
同理, k2=4/(y2+2)

根据k1k2=2
得到[4/(y1+2)][4/(y2+2)]=2
解得y1y2+2(y1+y2)=4 （1）

设直线AB x=ky+b
联立椭圆方程得到y^2-4ky-4b=0
y1y2= -4b
y1+y2=4k
带入（1）式得到
b=2k-1

所以直线AB可以写作x=ky+2k-1
所以x+1=k(y+2)
所以过定点(-1,-2)

唉，应该是(2,-2)啊，不晓得错在那里呢？？
我算了好几遍都是这个结果，
可是x是正数才对啊。