Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF//BC，AC于点E

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF//BC，AC于点E，交PC于点F，连接AF(1)AF与⊙O的位置关系，说明理由(2)若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长

Answer 1

解：（1）AF为圆O的切线，理由为：
连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
OA=OC
∠AOF=∠COF
OF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
则AF为圆O的切线；

（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF=∠COF，
∵OA=OC，
∴E为AC中点，即AE=CE=12‍ AC，OE⊥AC，
∵OA⊥AF，
∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，
根据勾股定理得：OF=5，
∵S△AOF=12‍ •OA•AF=12‍ •OF•AE，
∴AE=125 ，
则AC=2AE=245‍ ．

Answer 2

（1）AF切⊙O于A。
［证明］
∵FC切⊙O于C，∴∠FCA＝∠ABC，且∠OCF＝90°。
∵OF∥BC，∴∠ABC＝∠AOF，而∠FCA＝∠ABC，∴∠FCA＝∠AOF，
∴O、A、F、C共圆，∴∠OCF＋∠OAF＝180°，又∠OCF＝90°，∴∠OAF＝90°，
而OA是⊙O的半径，∴AF切⊙O于A。
（2）
∵OA＝4、AF＝3、OA⊥AF，∴由勾股定理容易得出OF＝5。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
由∠ABC＝∠FOA、∠ACB＝∠FAO＝90°，得：△ABC∽△FOA，∴AC/AF＝AB/OF，
∴AC/3＝8/5，∴AC＝24/5。

Answer 3

（1）连接OC 因为OC与OA都是圆的半径 所以OA=OC，因为CB平行OF 所以∠COB=∠FOA，∠BCO=∠COF 因为OB=OC 所以∠OBC=∠OCB 所以∠COF=∠AOF，因为OF=OF 所以根据俩边一夹角得△COF与△FOA全等，因为PC为圆O切线 所以FC⊥OC 所以∠OCF=90°，所以∠OAF=90° 所以FA⊥OA

Answer 4

credibility and created