Question

△ABC内接于⊙o，AB是⊙o的直径，⊙o的切线PC交BA的延长线于点P，oF//BC且交AC于点

△ABC内接于⊙o，AB是⊙o的直径，⊙o的切线PC交BA的延长线于点P，oF//BC且交AC于点E，交PC于点F，连接AF。（1）判断AF与⊙o的位置关系并说明理由；（2）若⊙o的半径为4，AF=3，求AC的长

Answer 1

• 解：（1）AF为圆O的切线，理由为：
  连接OC，
  ∵PC为圆O切线，
  ∴CP⊥OC，
  ∴∠OCP=90°，
  ∵OF∥BC，
  ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
  ∵OC=OB，
  ∴∠OCB=∠B，
  ∴∠AOF=∠COF，
  ∵在△AOF和△COF中，OA＝OC 、∠AOF＝∠COF 、OF＝OF

  ∴△AOF≌△COF（SAS），
  ∴∠OAF=∠OCF=90°，
  ∴AF⊥OA，OA为圆O的半径，
  则AF为圆O的切线；

• （2）∵△AOF≌△COF，
  ∴∠AOF=∠COF，
  ∵OA=OC，
  ∴E为AC中点，即AE=CE=1/2AC，OE⊥AC，

  ∵OA⊥AF，
  ∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，
  根据勾股定理得：OF=5，

  根据勾股定理得：OF=5，
  ∵S△AOF=1/2•OA•AF=1/2•OF•AE，

  ∴AE=12/5，

  则AC=2AE=24/5．