Question

已知函数f(x)＝1+sinxcosx，g(x)＝cos2(x+π12)．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）

已知函数f(x)＝1+sinxcosx，g(x)＝cos2(x+π12)．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求使函数h(x)＝f(ωx2)+g(ωx2)（ω＞0）在区间[?2π3，π3]上是增函数的ω的最大值．

Answer 1

（1）由题设知f(x)＝1+

1

2

sin2x，因为x＝x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
所以2x0＝kπ+

π

2

，(k∈Z)---------（2分）
g(x0)＝

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]＝

1

2

[1+cos(kπ+

2

3

π)]
当k为偶数时，g(x0)＝

1

2

(1+cos

2

3

π)＝

1

4

；
当k为奇数时，g(x0)＝

1

2

(1+cos

π

3

)＝

3

4

------------------------------（6分）
（2）因为h(x)＝(1+

1

2

sinωx)+

1

2

[1+cos(ωx+

π

6

)]
=

1

2

(sinωx+

3

2

cosωx?

1

2

sinωx)+

3

2

＝

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

-------------（8分）
当x∈[?

2π

3

，

π

3

]时，ωx+

π

3

∈[?

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]，
因为h(x)在[?

2π

3

，

π

3

]上是增函数，且ω＞0，
所以 [?

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]?[?

π

2

，

π

2

]，
即

? 2ωπ 3 + π 3 ≥? π 2 ωπ 3 + π 3 ≤ π 2

解得ω≤

1

2

所以ω的最大值为

1

2

-------------（12分）