Question

如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．（1）

如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？（3）在（1）、（2）的条件下当BE+CF= 时，求证：AD=BD×CD．

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Answer 1

解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF为菱形，则只需一组邻边相等或对角线互相垂直即可， ∴当AD⊥EF时，四边形AEDF为菱形． （2）要使四边形AEDF为正方形，则只需在菱形的基础上，再加一角为直角即可，故△ABC为直角三角形即可满足条件． （3）由（1）、（2）可得，四边形AEDF为正方形，即在直角三角形BED中，根据勾股定理得：BD 2 =BE 2 +DE 2 ，同理CD 2 =DF 2 +CF 2 ， 又AD= AE=（BE+CF）×AE=BE×AE+CF×AE=BE×ED+CF×FD， 又（BE+ED） 2 =AB 2 ，（CF+FD） 2 =AC 2 ， 又三角形ABC中，根据勾股定理得：AB 2 +AC 2 =（BD+CD） 2 ， 即（BE+ED） 2 +（CF+FD） 2 =（BD+CD） 2 ， 整理得：BE 2 +DE 2 +2BE×ED+DF 2 +CF 2 +2CF×FD=BD 2 +CD 2 +2BD×CD， 即2（BE×ED+CF×FD）=2BD×CD， ∴BE×ED+CF×FD=BD×CD， 即AD=BD×CD．