Question

如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②A

如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S △ CEF =S △ EAF +S △ CBE ；④若 = ，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）

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

Answer 1

①③④

试题分析：∵EF⊥EC， ∴∠AEF+∠BEC=90°， ∵∠BEC+∠BCE=90°， ∴∠AEF=∠BCE，故①正确； 又∵∠A=∠B=90°， ∴△AEF∽△BCE， ∴ ， ∵点E是AB的中点， ∴AE=BE， ∴ ， 又∵∠A=∠CEF=90°， ∴△AEF∽△ECF， ∴∠AFE=∠EFC， 过点E作EH⊥FC于H， 则AE=DH， 在Rt△AEF和Rt△HEF中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL）， ∴AF=FH， 同理可得△BCE≌△HCE， ∴BC=CH， ∴AF+BC=CF，故②错误； ∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE， ∴S △CEF =S △EAF +S △CBE ，故③正确； 若 ，则tan∠BCE= ， ∴∠BEC=60°， ∴∠BCE=30° ∴∠DCF=∠ECF=30°， 又∵∠D=∠CEF, CF=CF ∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确， 综上所述，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④．