Question

已知函数f（x）=mx 3 +nx 2 （m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求m

已知函数f（x）=mx 3 +nx 2 （m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n 2 ，试求m的值．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3mx 2 +2nx 由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，知f′（2）=0 ∴n=-3m，m＞0   ① 令f′（x）=3mx 2 +2nx=3mx 2 -6mx=0 得x=0或x=2， ∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数 ∴x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点． ∴极大值为f（0）=0；       （2）令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3 （I）当0＜m≤3时，f（x） max =f（0）=0，∴m-n 2 =0 ② 由①，②解得m= 1 9 ，符合前提0＜m≤3． （II）当m＞3时，f（x） max =f（m）=m 4 +m 2 n ∴m 4 +m 2 n=m-n 2    ③ 由①，③得m 3 -3m 2 +9m-1=0， ∵m＞3时，m 3 -3m 2 +9m-1=m 2 （m-3）+9m-1＞0 ∴m 3 -3m 2 +9m-1=0在（3，+∞）上无实数根． 综上讨论可知，m的值为m= 1 9