Question

已知函数f（x）= a x +lnx-1．（1）求f（x）的单调区间．（2）若a＞0，求函数f（x）在区间（0

已知函数f（x）= a x +lnx-1．（1）求f（x）的单调区间．（2）若a＞0，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（3）若0＜a＜e，g（x）=- 2e x -lnx．?x 1 ∈（0，e]，x 2 ∈（0，e]，使g（x 1 ）=f（x 2 ），求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）= a x +lnx-1，（x＞0），∴ f ′ (x)=- a x 2 + 1 x = x-a x 2 ， ①当a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． （2）①若a≥e，由（1）可知：函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，因此当x=e时，函数f（x）取得最小值f（e）= a e ． ②若0＜a＜e，由（1）可知：函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，e）上单调递增，因此当x=a时，函数f（x）取得极小值，即最小值f（a）=lna． （3）∵当0＜x≤e时，∴ g ′ (x)= 2e x 2 - 1 x = 2e-x x 2 ＞0，∴g（x）在区间（0，e]上单调递增，∴g（x）≤g（e）=-3． 由（2）可知：对于函数f（x），当0＜x≤e，0＜a＜e时，函数f（x）取得最小值f（a）=lna． 因此要使?x 1 ∈（0，e]，x 2 ∈（0，e]，使g（x 1 ）=f（x 2 ），则必须g（x） max ≥f（x） min ，即-3≥lna， 解得 0＜a＜ 1 e 3 ， ∴a的取值范围是 (0， 1 e 3 ) ．