Question

如图所示，空气中有一折射率为 2 的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB

如图所示，空气中有一折射率为 2 的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB．一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考虑首次入射到圆弧 . AB 上的光，则 . AB 上有光透出部分的弧长为______．

Answer 1

根据折射定律有： sin45° sinr = 2 ，可得光进入玻璃后光线与竖直方向的夹角为30°． 过O的光线垂直入射到AB界面上点C射出，C到B之间没有光线射出；越接近A的光线入射到AB界面上时的入射角越大，发生全反射的可能性越大． 根据临界角公式：sinC= 1 2 ，得临界角为45°，如果AB界面上的临界点为D，此光线在AO界面上点E入射，在三角形ODE中可求得OD与水平方向的夹角为180°-（120°+45°）=15°，所以A到D之间没有光线射出．由此可得没有光线射出的圆弧对应圆心角为90°-（30°+15°）=45° 所以有光透出的部分的弧长为 1 4 πR ． 故答案为： 1 4 πR ．