Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当 ，BP′= 时，求线段AB的长．

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Answer 1

解：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。 ∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。∴∠CBP=∠ABP。 （2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。 ∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E。 在△APD和△P′AE中， ∵ ， ∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。 （3）∵ ，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。 在Rt△AEP′中， ， ∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。 ∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。 ∴ 。即 。∴ 。 在Rt△ABP′中， ，即 。 解得AB=10

试题分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可。 （2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证。 （3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 ，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可。