Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A1B与B1C1所成的角为60°．（Ⅰ）求证：AC

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A1B与B1C1所成的角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）设D是BB1的中点，求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值．

Answer 1

（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AA₁∩AB=A，∴AC⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁B?平面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁B；
（II）∵四边形BB₁C₁C为平行四边形，得B₁C₁∥BC，
∴∠A₁BC₁（或其补角）是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角．
∵AC⊥A₁B，A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥A₁B．
由此可得Rt△A₁BC₁中，∠A₁BC₁=60°，
∵A₁C₁=AC=1，∴A₁B=

3

Rt△A₁B₁B中，A₁B₁=AB=1，可得BB₁=

A1B2?A1B12

=

2

，
∵A₁C₁∥AC，AC⊥平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面AA₁B₁B，
过B₁点作B₁E⊥AB于点E，则B₁E⊥平面A₁BC₁，
Rt△A₁B₁B中，B₁E=

A1B1?BB1

A1B

=

6

3

，即点B₁到平面A₁BC₁的距离等于

6

3

．
∵D是BB₁的中点，∴点D到平面A₁BC₁的距离d=

1

2

×