Question

设f（x）=exsinx函数．（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和

设f（x）=exsinx函数．（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=

2

e^xsin（x+

π

4

）．
由f′（x）≥0，得：sin（x+

π

4

）≥0，
∴2kπ≤x+

π

4

≤2kπ+π，即2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

．
∴f（x）的单调增区间为：[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]．
（2）∵x∈[0，π]，
由（1）知，x∈[0，

3π

4

]是单调增区间，x∈[

3π

4

，π]是单调减区间，
又f(0)＝0，f(π)＝0，f(

3

4

π)＝

2

2

e

3

4

π，
所以fmax＝f(

3π

4

)＝

2

2

e

3π

4

，f_min=f（0）=f（π）=0．