Question

（2012?广东）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE

（2012?广东）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2

2

，PC=3
∴OC=BO＝

2

在△PAC∽△OEC中，

OE

OC

＝

PA

PC

?

OE

2

＝

1

3

?OE＝

2

3

又BD⊥OE，
∴tan∠BEO＝

BO

OE

＝3
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3