Question

（2010?连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为______，

（2010?连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为______，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出34+342+343+…+34n=______．

Answer 1

∵A₁、B₁分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A₁B₁C的面积为1×

1

4

．
∴四边形A₁ABB₁的面积=△ABC的面积-△A₁B₁C的面积=

3

4

=1-

1

4

；
∴四边形A₂A₁B₁B₂的面积=△A₁B₁C的面积-△A₂B₂C的面积=

1

4

-

1

42

=

3

42

．
…，
∴第n个四边形的面积=

1

4n?1

?

1

4n

=

3

4n

．
故

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

42

）+…+（

1

4n?1

?

1

4n

）=1-

1

4n

．
故答案为：

3

4

，1-

1

4n

．