Question

已知数列{an}中a1=2，点（an，an+1） 在函数f（x）=x2+2x的图象上，n∈N*．数列{bn}的前n项和为Sn，且满

已知数列{an}中a1=2，点（an，an+1） 在函数f（x）=x2+2x的图象上，n∈N*．数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b1=1，当n≥2时，Sn2=bn（Sn-12）（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；（2）求Sn；（3）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an）cn=2Sn2n+1，求Tn?（c1+c2+c3+…+cn）的值．

Answer 1

（1）由已知：∵a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²，
∵a₁=2，a_n+1＞1，两边取对数得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，
∴{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
（2）当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

），
展开整理得：S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
若S_n=0，则b_n=0，则S₂=1+b₂≠0矛盾，∴S_n≠0，
在等式两侧同除以S_nS_n-1得

1

Sn

?

1

Sn?1

=2，
∴{

1

Sn

}为等差数列，∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，
∴Sn=

1

2n?1

．
（3）由（1）知∴lg（1+a_n）=2^n-1lg3=lg32n?1，∴1+a_n=32n?1，
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）=320?321?322…32n?1=31+2+22+…+2n?1=32n?1，
∵c_n=

2

(2n?1)(2n+1)

=

1

2n?1

-

1

2n+1

，，
c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+