已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的图象如图 所示(1)求c,d的值;(2)若函数f(x)在x=2处的切
已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的图象如图所示(1)求c,d的值;(2)若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x+y-11=0,求函数f(x)的...
已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的图象如图 所示(1)求c,d的值;(2)若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x+y-11=0,求函数f(x)的解析式;(3)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=13f′(x)+5x+m的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
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函数f(x)的导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b
(1)由图可知 函数f(x)的图象过点(0,3),且f'(1)=0
得
?
(2)依题意f′(2)=-3且f(2)=5
解得a=1,b=-6
所以f(x)=x3-6x2+9x+3
(3)f′(x)=3x2-12x+9
可转化为:x3-6x2+9x+3=(x2-4x+3)+5x+m有三个不等实根,
即g(x)=x3-7x2+8x-m与x轴有三个交点;
g′(x)=(3x-2)(x-4)
当x∈(-∞,
),g′(x)>0,
当x∈(
,4),g′(x)<0,
当x∈(4,+∞),g′(x)>0
∴g(
)=
-m,g(4)=-16-m
当且仅当g(
)=
-m>0且g(4)=-16-m<0时,有三个交点,
故-16<m<
为所求.
(1)由图可知 函数f(x)的图象过点(0,3),且f'(1)=0
得
|
|
(2)依题意f′(2)=-3且f(2)=5
|
解得a=1,b=-6
所以f(x)=x3-6x2+9x+3
(3)f′(x)=3x2-12x+9
可转化为:x3-6x2+9x+3=(x2-4x+3)+5x+m有三个不等实根,
即g(x)=x3-7x2+8x-m与x轴有三个交点;
g′(x)=(3x-2)(x-4)
当x∈(-∞,
2 |
3 |
当x∈(
2 |
3 |
当x∈(4,+∞),g′(x)>0
∴g(
2 |
3 |
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27 |
当且仅当g(
2 |
3 |
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故-16<m<
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