Question

设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的实数a，b，当a+b≠0时，都有f(a)+f(b) /a+b＜0成立.

设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的实数a，b，当a+b≠0时，都有f(a)+f(b) /a+b＜0成立.
（1）判断函数y=f(x)在-R上的单调性并证明；
（2）若对任意t∈t[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，求实数k的最大值.

Answer 1

(1)设x2>x1 x2-x1>0 设a=x2,b=-x1 则(f(x2)+f(-x1))/(x2-x1)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<0
f(x2)<f(x1) 是减函数
（2）f(t^2-2t-1)≤f(k-2t^2) 是减函数，t^2-2t-1≥k-2t^2 3t^2-2t-1≥k
y=3t^2-2t-1=3(t-1/3)^2-4/3 在-1≤t≤0 最小值为-1
所以k≤-1 所以k的最大值为-1

Answer 2

答：
1）
f(x)是R上的奇函数，f(-x)=-f(x)，f(0)=0
设a>b，a-b>0
因为：[ f(a)+f(b) ] /(a+b)<0恒成立
所以：[ f(a) +f(-b) ] /(a-b)<0恒成立
所以：f(a)+f(-b)<0
所以：f(a)<-f(-b)=f(b)
所以：f(x)是R上的单调递减函数
2）
-1<=t<=0
f(t²-2t-1)+f(2t²-k)<=0
f(t²-2t-1)<=-f(2t²-k)=f(k-2t²)恒成立
所以：
t²-2t-1>=k-2t²
所以：
k<=3t²-2t-1
抛物线g(t)=3t²-2t-1开口向上，对称轴t=1/3
在[-1,0]上是单调递减函数
所以：t=0时g(t)取得最小值g(t)>=g(0)=-1
所以：k<=-1<=3t²-2t-1
所以：k的最大值为-1