Question

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于点E，连接DE、BE、BD、AE．（1）求证

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于点E，连接DE、BE、BD、AE．（1）求证：∠ACO=∠BED；（2）连接CD，证明：直线CD是⊙O的切线；（3）如果DE ∥ AB，AB=2cm，求四边形AEDB的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于点A， ∴∠CAO=90°， ∴∠ACO+∠AOC=90°， 又∵OC⊥AD， ∴∠OFA=90°， ∴∠AOC+∠BAD=90°， ∴∠ACO=∠BAD， 又∵∠BED=∠BAD， ∴∠ACO=∠BED； （2）连接CD、OD， ∵OC⊥AD， ∴ AE = DE ， ∴∠DOC=∠AOC， 在△OAC和△ODC中， OC=OC ∠AOC=∠DOC OA=OD ， ∴△OAC≌△ODC（SAS）， ∴∠ODC=∠OAC， 又∵CA切⊙O于点A， ∴∠OAC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴CD是⊙O的切线； （3）∵OC⊥AD， ∴ AE = DE ， 又∵DE ∥ AB， ∴∠BAD=∠EDA， ∴ BD = AE ， ∴ BD = DE = AE ， ∴∠DBE=∠ABE=∠BAD，AE=BD=DE， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=30°， ∴BD= 1 2 AB=1cm，DE=1cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= 3 ， 过点D作DH⊥AB于H， ∵∠HAD=30°， ∴DH= 1 2 AD= 3 2 ， ∴四边形AEDB的面积为： 1 2 （DE+AB）?DH 1 2 (DE+AB)?DH = 1 2 ×（1+2）× 3 2 = 3 3 4 （cm 2 ）．