Question

若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x 2 -10x的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线y=b与函

若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x 2 -10x的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

（1）因为 f ′ (x)= a 1+x +2x-10 ， 所以 f ′ (3)= a 4 +6-10=0 ，因此a=16…2分 故 f（x）=16ln（1+x）+x 2 -10x，x∈（-1，+∞）， f ′ (x)= 2( x 2 -4x+3) 1+x …4分 当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0， 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0， 所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）…6分 （2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加， 在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加， 所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21，…8分 所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞）， 直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点， 当且仅当f（3）＜b＜f（1）． 因此b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．…12分．