Question

已知α，β∈（0，π），且tan（α-β）= 1 2 ，tanβ=- 1 7 （1）计算tanα、tan

已知α，β∈（0，π），且tan（α-β）= 1 2 ，tanβ=- 1 7 （1）计算tanα、tan2α的值（2）求2α-β的值．

Answer 1

（1）∵ tan(α-β)= 1 2 ，∴ tanα-tanβ 1+tanαtanβ = 1 2 …（2分） 而： tanβ=- 1 7 ，∴ tanα+ 1 7 1- 1 7 tanα = 1 2 ，解得 tanα= 1 3 …（5分） ∴tan2α= 2tanα 1- tan 2 α = 2× 1 3 1- ( 1 3 ) 2 = 3 4 …（7分） （2）tan（2α-β）= tan2α-tanβ 1+tan2αtanβ = 3 4 + 1 7 1- 3 4 × 1 7 =1．…（9分） ∵tanα= 1 3 ＞0，α∈（0，π），∴0＜α＜ π 2 ，0＜2α＜π ∵tan2α= 3 4 ＞0∴0＜2α＜ π 2 ，…（11分） ∵tanβ=- 1 7 ＜0，β∈（0，π），∴ π 2 ＜β＜π，…（12分） ∴-π＜2α-β＜0，…（13分） ∴2α-β=- 3π 4 ．…（15分）