Question

（2013?怀柔区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，连结CD、BN，CD的延长线交BN于点F．（1）

（2013?怀柔区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，连结CD、BN，CD的延长线交BN于点F．（1）当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF，并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由．

Answer 1

（1）当∠ADN等于90度时，∠ACE=∠EBF．
理由如下：
∵∠ACB=∠ADN=90°，
∴△ABC和△AND均为直角三角形
又∵AC=AD，AB=AN，
∴△ABC≌△AND，
∴∠CAB=∠DAN，
∴∠CAD=∠BAN，
又∠ACD=∠ADC，∠ABN=∠ANB，
∴∠ACD=∠ABN   即∠ACE=∠EBF；

（2）当β=2α时，△ACE≌△FBE．  
理由如下：
在△ACD中，∵AC=AD，
∴∠ACD=

180°-∠CAD

2

=

180°-β

2

=90°-α，
在Rt△ABC中，
∠ACD+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=α．
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（1）知：∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF
∴△ACE≌△FBE．

Answer 2

(1)当∠ADN=∠ACB=90°时△ADN≌△ACB(HL),
∴∠DAN=∠CAB,
∴∠BAN=∠CAD,
又AC=AD,AB=AN
∴∠ACE=(1/2)(180°-∠CAD)=(1/2)(180°-∠BAN)=∠EBF.
(2)由(1)易知△ACE∽△FBE,所以要两者全等，只需CE=BE,
只需∠EBC=∠ABC,立知α+β=90°。