Question

选修4-4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴

选修4-4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin(θ+π4)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ＝φ，θ＝φ+π4，θ＝φ?π4，θ＝π2+φ与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值．

Answer 1

（Ⅰ）C₁：即 ρ²=2

2

ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x-1）²+（y-1）²=2．
把C₂的方程化为直角坐标方程为 y=a，因为曲线C₁关于曲线C₂对称，故直线y=a经过圆心（1，1），
解得a=1，故C₂的直角坐标方程为 y=1．
（Ⅱ）由题意可得，|OA|＝2

2

sin(φ+

π

4

)； |OB|＝2

2

sin(φ+

π

2

)＝2

2

cosφ； |OC|＝2

2

sinφ；|OD|＝2

2

sin(φ+

3π

4

)=2

2

cos（

π

4

+φ），
∴|OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sin（φ+

π

4

）sinφ+8cos（

π

4

+φ）cosφ=8cos[（

π

4

+φ）-φ]=8×

2

2

=4

2

．