Question

（2009?遂宁）如图，二次函数的图象经过点D（0，793），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB

（2009?遂宁）如图，二次函数的图象经过点D（0，793），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，

7

9

3

）
∴y=a（x-4）²+k，

7

9

3

=16a+k①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=

3

9

，k=-

3

∴二次函数的解析式为：y=

3

9

（x-4）²-

3

（2）∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴

PM

DO

=

BM

BO

∴PM=

7 9 3 ×3

7

=

3

3

∴点P的坐标为（4，

3

3

）

（3）由（1）知点C（4，-

3

），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=

3

3

，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°
∴QN=3

3

，BN=3，ON=10，
此时点Q（10，3

3

），
如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，3

3

）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是（4，-

3

），
经检验，点（10，3

3

）与（-2，3

3

）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，3

3

）或（-2，3

3

）或（4，-

3

）．