Question

设函数f（x）=|2x-1|-|x+4|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成

设函数f（x）=|2x-1|-|x+4|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．

Answer 1

解答：选修4-5：不等式选讲
解：（I）f(x)＝

?x+5，x≤?4 ?3x?3，?4＜x＜ 1 2 x?5，x≥ 1 2 .

…（3分）
当x≤-4时，由f（x）＞0得-x+5＞0，解得x≤-4，…（4分）
当?4＜x＜

1

2

时，由f（x）＞0得-3x-3＞，解得-4＜x＜-1，…（5分）
当x≥

1

2

时，由f（x）＞0得x-5＞0，解得x＞5，…（6分）
综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞5}．…（7分）
（ II）∵f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9．…（8分）
∴由题意可知|a-1|≤9，解得-8≤a≤10，…（9分）
故所求a的取值范围是{a|-8≤a≤10}．…（10分）