Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若EF为折痕，则sin∠

如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若EF为折痕，则sin∠BED的值为3535，DEDF的值为223223．

Answer 1

解答：解：设Rt△ABC的直角边AC=a，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△DEF是△AEF沿EF折叠而成，
∴∠A=∠FDE=∠B=45°，
∵∠2+∠B=∠1+∠FDE，∠FDE=∠B=45°
∴∠1=∠2，
∵D是BC的中点，
∴CD=

a

2

，设CF=x，则AF=DF=a-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF²=CF²+CD²，即（a-x）²=x²+（

a

2

）²，
解得x=

3a

8

，
∴DF=a-x=a-

3a

8

=

5a

8

，
∴sin∠1=

CF

DF

=

3a 8

5a 8

=

3

5

，
∴sin∠2=

3

5

，即sin∠BED的值为

3

5

；
过D作DG⊥AB，
∵BD=

a

2

，∠B=45°，
∴DG=BD?sin∠B=

a

2

×

2

2

=

2 a

4

，
∵∠2=∠1，∠C=∠DGE，
∴△EDG∽△DFC，
∴

DE

DF

=

DG

CF

=

2 a 4

3a 8

=

2 2

3

．
故答案为：

3

5

，

2 2

3

．

Answer 2

解答：解：设Rt△ABC的直角边AC=a，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△DEF是△AEF沿EF折叠而成，
∴∠A=∠FDE=∠B=45°，
∵∠2+∠B=∠1+∠FDE，∠FDE=∠B=45°
∴∠1=∠2，
∵D是BC的中点，
∴CD=
a
2
，设CF=x，则AF=DF=a-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF2=CF2+CD2，即（a-x）2=x2+（
a
2
）2，
解得x=
3a
8
，
∴DF=a-x=a-
3a
8
=
5a
8
，
∴sin∠1=
CF
DF
=

3a
8

5a
8

=
3
5
，
∴sin∠2=
3
5
，即sin∠BED的值为
3
5
；
过D作DG⊥AB，
∵BD=
a
2
，∠B=45°，
∴DG=BD?sin∠B=
a
2
×

2

2
=

2
a

4
，
∵∠2=∠1，∠C=∠DGE，
∴△EDG∽△DFC，
∴
DE
DF
=
DG
CF
=

2
a

4

3a
8

=
2
2

3
．
故答案为：
3
5
，
2
2

3
．