Question

已知四边形ABCD中，角B+角D=180°，BC=CD，求证：AC平分∠A

Answer 1

设AB＞AD
证法1：
作CE⊥AB于E,CF⊥AD,交AD延长线于F
则∠CEB=∠CFD=90º
∵∠B+∠ADC=180º
∠CDF+∠ADC=180º
∴∠B=∠CDF
又∵BC=CD
∴△CBE≌△CDF（AAS）
∴CE=CF
∴AC平分∠BAD【到角两边距离相等的点在角的平分线上】

 

证法2：
在AD的延长线上截取DE=AB,连接CE
∵∠B+∠ADC=180º
   ∠CDE+∠ADC=180º
∴∠B=∠CDE
又∵BC=CD

AB=DE
∴△ABC≌△EDC（SAS）
∴∠BAC=∠E
   AC=CE，∠DAC=∠E
∴∠BAC=∠DAC
∴AC 平分∠BAD

 

证法3：

∵∠B+∠D=180º
∴A,B,C,D四点共圆
∵BC=CD
∴∠BAC=∠DAC
∴AC平分∠BAD
证法4：
在三角形ABC中
AC/sin∠B=BC/sin∠BAC
在三角形ADC中
AC/sin∠D=CD/sin∠DAC
∵∠B +∠C =180º
∴sin∠B=sin∠C
又∵BC=CD
∴sin∠BAC=sin∠DAC
∵∠BAC+∠DAC =∠BAD＜180º
∴∠BAC和∠DAC不能互补
∴∠BAC=∠DAC
∴AC平分∠BAD

Answer 2

证明：因为CD=CB
将△ABC以C点为中心逆时针旋转至CB与CD重合
设旋转后的A点为A',连接CA',DA'
显然△ABC与△A'CD全等
有∠CAB=∠A',CA=CA',∠B=∠CDA'
又因为已知∠CDA+∠B=180°
所以∠CDA+∠CDA'=180°,即A,D,A'共线
所以∠CAD=∠A'(等边三角形)
所以∠CAB=∠CAD
即对角线AC平分角BAD
即AC平分角A

Answer 3

证明：因为CD=CB
将△ABC以C点为中心逆时针旋转至CB与CD重合
设旋转后的A点为A',连接CA',DA'
显然△ABC与△A'CD全等
有∠CAB=∠A',CA=CA',∠B=∠CDA'
又因为已知∠CDA+∠B=180°
所以∠CDA+∠CDA'=180°,即A,D,A'共线
所以∠CAD=∠A'(等边三角形)
所以∠CAB=∠CAD
即对角线AC平分角BAD
即AC平分角A

Answer 4

证明：∵四边形内角和为360°，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°

           且∠ABC+∠CDA=180°

           ∴∠DAB+∠BCD=360°-（∠ABC+∠CDA）=360°-180°=180°

           ∵在△BCD中，∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°

           ∴∠DAB+∠BCD=∠BCD+∠CBD+∠CDB

           ∴∠DAB=∠CBD+∠CDB

           ∵∠DAB=∠BAC+∠DAC

           ∴∠BAC+∠DAC=∠CBD+∠CDB

           ∵∠BAC=∠CDB（在同圆中，同一弦对应同一侧的圆周角相等）

           ∴∠DAC=∠CBD

           ∵BC=CD

           ∴∠CBD=∠CDB

          ∴∠BAC=∠DAC

          ∴AC平分∠A

Answer 5

证明：因为CD=CB
将△ABC以C点为中心逆时针旋转至CB与CD重合
设旋转后的A点为A',连接CA',DA'
显然△ABC与△A'CD全等
有∠CAB=∠A',CA=CA',∠B=∠CDA'
又因为已知∠CDA+∠B=180°
所以∠CDA+∠CDA'=180°,即A,D,A'共线
所以∠CAD=∠A'(等边三角形)
所以∠CAB=∠CAD
即对角线AC平分角BAD
即AC平分角A