Question

曲线过点(2，2)，其上任意一点处的切线在y轴上的截距等于该点横坐标的立方，求曲线方程

Answer 1

解：
设曲线y=f(x)，其上任意一点(x0，f(x0))，则其切线方程为：
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
整理，得
y=f'(x0)·x+f(x0)-x0·f'(x0)
截距f(x0)-x0f'(x0)
由题意得：f(x0)-x0·f'(x0)=x0³
[x0·f'(x0)-f(x0)]/x0²=-x0
x0为曲线上任意一点，则
[x·f'(x)-f(x)]/x²=-x
[f(x)/x]'=-x
等式两边同时积分
f(x)/x=-½x²+C
f(x)=-½x³+Cx
x=2，f(x)=2代入，整理，得
2C-4=0
C=2
f(x)=-½x³+2x
所求曲线方程为f(x)=-½x³+2x

追问

答案是1/2x^3+3x

-答案是-1/2x^3+3x

追答

等一下，我看看。方法就是这个方法。

追问

谢谢哦，麻烦了

追答

检查了两遍，无误。是不是答案有问题。

追问

哦哦，可能是吧，谢谢喽。麻烦了

追答

肯定是答案错了，如果是f(x)=-½x³+3x的话，根本就不过点(2，2）,与已知不符。

追问

恩，知道了谢谢哦

追答

如果答案真的是3x，估计是印刷错误。正确答案就是我写的这个：f(x)=-½x³+2x，这个函数的图像过点(2，2)。