设f(x)为可导函数,满足方程∫(0,x)f(t)dt=x2+f(x),求函数f(x)
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两边同时对x求导
f(x)＝2x+f'(x)
所以f'(x)-f(x)＝-2x
所以f(x)＝e^(x+C)[(∫-2xe^(-x))dx]+C1
＝e^(x+C)[∫-2xe^(-x)dx]+C1
＝2e^(x+C)(x+1)*e^(-x)+C1
＝2e^C(x+1)+C1
＝C2x+C3
C2＝2e^C
C3＝2e^C+C1
f(x)＝2x+f'(x)
所以f'(x)-f(x)＝-2x
所以f(x)＝e^(x+C)[(∫-2xe^(-x))dx]+C1
＝e^(x+C)[∫-2xe^(-x)dx]+C1
＝2e^(x+C)(x+1)*e^(-x)+C1
＝2e^C(x+1)+C1
＝C2x+C3
C2＝2e^C
C3＝2e^C+C1
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可是这不是书上的最终答案呀
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其实f(x)就是一个一次函数
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