Question

为什么f(x)在[a,b]上有界 是 f(x)在[a,b]上可积 的不充分条件?

为什么f(x)在[a,b]上有界 是 f(x)在[a,b]上可积 的不充分条件?f(x)在[a,b]上连续 是 f(x)在[a,b]上可积 的不必要条件?都举例子说明

Answer 1

1、例如这个函数
f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）
很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。
而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。
所以有界是可积的不充分条件。
2、例如这个函数
f（x）=1（x＜0）；0（x≥0）
这个函数不是连续函数，有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。
所以连续不是可积的必要条件。

追问

非常感谢