在三角形OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取一点D,使DB=1/3OB,DC与OA交于点E,设向量OA=a,向量OB＝b，用ab表
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例4 （14分）如图所示，在△ABO中， = ,
= ,AD与BC相交于点M，设 =a， =b.试
用a和b表示向量 .
解 设 =ma+nb，
则 = - =ma+nb-a=(m-1)a+nb.
= - = - =-a+ b.
又∵A、M、D三点共线，∴ 与 共线.
∴存在实数t,使得 =t ，
即(m-1)a+nb=t(-a+ b). 4分
∴(m-1)a+nb=-ta+ tb.
∴
，消去t得：m-1=-2n.
即m+2n=1. ① 6分
又∵ = - =ma+nb- a=(m- )a+nb.
= - =b- a=- a+b.
又∵C、M、B三点共线，∴ 与 共线. 10分
∴存在实数t1,使得 =t1 ,
a b
∴(m- )a+nb=t1 ,
∴ ，
消去t1得,4m+n=1 ② 12分
由①②得m= ,n= ,
∴ = a+ b. 14分
= ,AD与BC相交于点M，设 =a， =b.试
用a和b表示向量 .
解 设 =ma+nb，
则 = - =ma+nb-a=(m-1)a+nb.
= - = - =-a+ b.
又∵A、M、D三点共线，∴ 与 共线.
∴存在实数t,使得 =t ，
即(m-1)a+nb=t(-a+ b). 4分
∴(m-1)a+nb=-ta+ tb.
∴
，消去t得：m-1=-2n.
即m+2n=1. ① 6分
又∵ = - =ma+nb- a=(m- )a+nb.
= - =b- a=- a+b.
又∵C、M、B三点共线，∴ 与 共线. 10分
∴存在实数t1,使得 =t1 ,
a b
∴(m- )a+nb=t1 ,
∴ ，
消去t1得,4m+n=1 ② 12分
由①②得m= ,n= ,
∴ = a+ b. 14分
参考资料： http://www.qk-w.com/gzsx/gkfx/ztfx/pmxl/201007/54029.html
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第六题
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