Question

一道高二数学题，关于椭圆的

一道高二数学题，关于椭圆的已知椭圆C:x^2/2+y^2=1，设恒过点（0，-1/3）的直线l与椭圆C交于A,B两点
问:椭圆上是否存在点M，使得以AB为直径的圆恒过点M，如果有，求出M

注:原题我忘在教室里了.题目大概就是这个样子，请大佬给出详细过程，谢谢

Answer 1

当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²,
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
∴两圆的切点为点(0,1),
故所求的点M为点(0,1),证明如下．
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)；
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l：y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得：(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则：x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
向量MA=(x1,y1-1),向量MB=(x2,y2-1),
∴MA•MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9=0
∴MA⊥MB,即以AB为直径的圆过点(0,1).
综上所述,存在一个定点T(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点M

Answer 2

设过点（0，-1/3）的直线l的斜率为k，则此直线方程为：y=kx-1/3
与椭圆方程:x²/2+y²=1联立，
解出A、B两点坐标为x1=(k+√(9k²+4))/(3(k²+1/2))，y1=(-1/2+k√(9k²+4))/(3(k²+1/2))
x2=(k-√(9k²+4))/(3(k²+1/2))，y2=(-1/2-k√(9k²+4))/(3(k²+1/2))
圆心即AB中点，x0=k/(3(k²+1/2))，y0=(-1/2)/(3(k²+1/2))
AB为直径，可得圆的方程。
下面的问题是能否从圆上找到一点，此点的坐标与k无关。