Question

求微分方程的通解，题目如图所示

要有详细过程

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Answer 1

(1).求微分方程 dy/dx+[(1-2x)y/x]-1=0的通解；
解：先求齐次方程 dy/dx+(1-2x)y/x=0的通解：
分离变量得：dy/y=[(2x-1)/x]dx;
积分之得 lny=∫[(2x-1)/x]dx=∫[2-(1/x)]dx=2x-lnx+lnc=2x+ln(c/x)
故齐次方程的通解为：y=e^[2x+lnc/x)]=(c/x)e^(2x);
将c换成x的函数u，得 y=(u/x)e^(2x).............①
将①对x取导数得：dy/dx=[(xu'-u)/x²]e^2x+(2u/x)e^2x=[(u'/x)-u/x²+(2u/x)]e^2x........②
将①②代入原式并化简得：(u'/x)e^(2x)-1=0;
故u'=du/dx=xe^(-2x)，
∴u=∫xe^(-2x)dx=-(1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)]=-(1/2)xe^(-2x)-(1/4)e^(-2x)+c
=-[(1/2)x+(1/4)]e^(-2x)+c;............③
将③代入①式即得原方程的通解：
y={-[(1/2)+1/(4x)]e^(-2x)+c/x}e^(2x)=-(1/2)-1/(4x)+(c/x)e^(2x);
(2).求微分方程 y''-2y'-3y=3x+1的通解
解：齐次方程 y''-2y'-3y=0的特征方程 r²-2r-3=(r-3)(r+1)=0的根：r₁=-1；r₂=3；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(3x)；
设其特解为：y*=ax+b；那么y*'=a，y*''=0；
代入原式得：-2a-3(ax+b)=-3ax-2a-3b=3x+1;
故-3a=3，得a=-1； -2a-3b=2-3b=1，故b=1/3；∴特解y*=-x+1/3；
于是原方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(3x)-x+1/3;

Answer 2

1、dy/dx=(2x-1)y/x² +1
先求对应的齐次方程dy/dx=(2x-1)y/x²
dy/y=(2x-1)dx/x² =(2/x -1/x²) dx
ln|y|=2ln|x|+1/x+C
ln|y|-2ln|x|=ln|y/x²|=1/x+C
y/x²=Ce^(1/x)，即y=Cx²e^(1/x)
由常数变易法，y=C(x)x²e^(1/x)
代入原方程得C'(x)=1/x e^(-1/x)
C(x)=∫1/x² e^(-1/x) dx=∫e^(-1/x) d(-1/x)
=e^(-1/x) +C
故原方程的通解为y=x²+x² e^(1/x)
2、特征方程为r²-2r-3=0，
(r-3)(r+1)=0，得r=3或r=-1
故y''-2y'-3y=0的通解为Y=C1 e^(3x)+C2 e^(-x)
因为0不是特征根，故设特解为y*=ax+b
则y*'=a，y*''=0
代入原方程得-3ax-2a-3b=3x+1
即-3a=3，-2a-3b=1，得a=-1，b=1/3
故特解为y*=-x+1/3
故原方程得通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(3x)+C2 e^(-x) -x+1/3